이 같은 일들이 연이어 벌어질 때 일이 잘 풀리지 않고 꼬이기만 할 때 '머피의 법칙'이라는 말을 쓴다. 그런데 정말 운이 없어서 머피의 법칙이 일어나는 걸까. 이를 수학적으로 따져본 사람들이 있다. 그들에 따르면 이 같은 상황은 운이 없어서 일어난 게 아니라 이런 일들이 일어날 확률이 그렇지 않을 확률보다 훨씬 크기 때문이라고 한다.
먼저 식탁 위에 있던 잼 바른 토스트가 바닥에 떨어진 상황부터 수학적으로 분석해보자. 이 경우 두 가지 가능성이 있다. 잼을 바른 면이 바닥으로 떨어지는 경우와 잼을 바른 면이 위를 향하는 경우다. 두 경우가 일어날 가능성이 같다면 확률은 똑같이 50%일 것이다. 하지만 토스트의 한쪽 면에는 잼을 발랐기 때문에 두 경우의 확률이 똑같지 않다.
토스트가 잼을 바른 면으로 떨어지는 요인은 앞에서 서술한 4가지다. 여기서 중력과 식탁의 평균 높이는 떨어지는 시간을 결정하고 토스트의 크기와 초기 위치에서 떨어지는 각도는 토스트의 회전 운동을 결정한다. 이때 토스트가 회전해 잼 바른 면이 바닥에 닿을지 위를 향할지는 토스트를 회전시키는 힘에 영향을 받는다. 그 힘은 중력과도 관련이 있다.
그렇다면 보통 식탁 위에서 떨어뜨린 토스트는 바닥에 닿을 때까지 몇 바퀴를 회전할까. 중력과 식탁의 높이를 고려해 계산하면 반 바퀴를 돌고 바닥에 닿는다는 결론이 나온다.
이 상황을 증명하고 실험을 통해 확인한 사람이 영국의 수학자이자 과학자인 로버트 매튜다. 그는 잼을 바른 토스트를 무려 9821번 식탁 위에서 떨어뜨려 봤다. 그 결과 6101번이나 잼 바른 면이 바닥에 닿도록 떨어졌다. 잼 바른 면이 바닥으로 떨어질 확률은 62.1%로 우연에 의한 확률인 50%보다 크게 나왔다.
● 배터리는 왜 중요한 순간에 바닥날까
스마트폰을 사용하다보면 중요한 순간에 배터리가 방전되곤 한다. 아슬아슬하지만 버틸 수 있을 것 같다고 생각했는데 어느 순간 갑자기 너무 빨리 닳아버리는 것이다. 그 이유는 전압의 특징 때문이다.
우리가 보는 스마트폰 화면의 배터리 잔량은 백분율로 나타나 보기에 편하다. 이렇게 액정 화면에 표시되는 배터리 잔량은 배터리의 내부 전압을 측정해 계산한다. 최대 전압과 최소 전압 사이를 100등분해 화면에 백분율로 표시하는 것이다. 배터리 내의 전압이 가장 높을 때가 100%, 가장 낮을 때가 0%로 표시된다.
그런데 전압은 사용량에 따라 일정하게 변하지 않는다. 배터리 용량이 적게 남아 있을수록 전압은 더 급격하게 낮아진다. 그래서 어느 순간부터 배터리가 갑자기 빨리 닳는다.
이러한 현상의 원인은 스마트폰 배터리의 전극 소재에서 찾을 수 있다. 주로 스마트폰에는 리튬이온 배터리가 쓰이는데 배터리 안에는 두 개의 전극이 있다. 양극에는 리튬 코발트 산화물(LiCoO2)과 음극에는 흑연이 주로 쓰인다. 이 소재는 아래 그래프처럼 배터리가 많이 소모됐을 때 전압이 급격하게 줄어드는 특징이 있다. 이에 따라 화면에 표시되는 배터리 잔량도 빠르게 감소한다. 이 때문에 배터리 잔량이 적을수록 배터리가 더 빠르게 닳는다.
● 배터리, 얼마나 사용 가능할까
스마트폰을 사용한 지 1~2년쯤 되면 배터리가 빨리 소모돼 불편하다. 이때쯤 되면 항상 배터리가 빨리 닳는다. 그래서 어딜 가나 충전기, 보조 배터리, 여분의 배터리를 가지고 다닌다.
실제로 스마트폰 배터리로 쓰는 리튬이온 배터리는 보통 500~1000회 이상 충전하면 성능이 급격하게 떨어진다. 내부 소재의 부피가 변해 소재의 구조가 바뀌기 때문이다.
● 양말 더미에서 양말을 꺼내면 왜 항상 짝짝이일까
빨래한 옷들이 다 말라 건조기에서 꺼내왔지만 갤 시간이 없다. 빨리 나가야 해서 양말 더미에서 양말 2개를 무작위로 꺼냈더니 짝짝이다. 다시 해도 마찬가지. 도대체 왜 그럴까.
조합을 이용하면 이런 상황의 확률을 구해 왜 짝짝이만 나타나는지 알 수 있다. 조합은 n개에서 순서에 상관없이 r개를 뽑는 경우의 수로 nn-r)!r!}로 구할 수 있다. 기호는 nCr로 쓴다. 여기서 n!이란 1부터 n까지의 자연수를 모두 곱한 값을 뜻한다.
먼저 간단한 상황에서 확률을 구해보자. 바구니 속에 완벽하게 짝이 맞는 3종류의 양말이 있다. 마구 뒤섞여 있는 이 양말 뭉치에서 2개의 양말을 꺼낸다고 가정해보자. 짝짝이 양말을 뽑을 확률은 얼마일까.
먼저 6개의 양말에서 2개의 양말을 임의로 뽑는 경우의 수는 조합식에 의해가지가 나온다. 이것이 전체 경우의 수다.
이제 6개의 양말 중에서 2개를 뽑을 때 그 2개가 서로 다른 양말일 경우를 생각해보자. 3종류의 양말 중에서 서로 다른 2종류의 양말을 선택할 경우는 3가지다. 그런데 이 3가지에서 각각의 종류마다 양말이 두 짝씩 있다.
게다가 여기서 구한 80%란 확률은 양말이 6개, 고작 3켤레인 경우다. 양말의 개수를 10개로 늘리면 확률은 약 88.89%, 양말의 개수를 20개로 늘리면 무려 94.74%로 커진다. 짝짝이 양말을 뽑은 게 불운이 아니라 짝짝이를 뽑지 않은 것이 행운이다.
● 내가 계산하려고 선 곳만 왜 느릴까
마트에서 계산하려고 줄을 섰을 때 내가 선 곳만 느리다고 생각한 적이 한 번쯤 있을 것이다. 그런데 이 현상 역시 확률을 따져 보면 당연한 일이라는 것을 알 수 있다.
마트에 계산대가 3개 있고 그중 하나의 계산대에 줄을 섰다고 가정해보자. 계산대가 3개 있으므로 내가 선 줄이 가장 빨리 줄어들 확률은 1/3이다. 반면 나머지 줄이 빨리 줄어들 확률은 2/3이다. 내가 선 줄이 가장 빨리 줄어들 확률의 2배다.
계산대의 개수가 많아질수록 확률의 차이는 더 벌어진다. 만약 계산대의 개수를 n이라고 하면 내가 선 곳의 줄이 가장 빨리 줄어들 확률은 1/n이고 나머지 줄이 빨리 줄어들 확률은 (n-1)/n로 (n-1)배 커지는 것이다. 계산대의 개수가 많으면 많을수록 내가 선 곳의 줄이 가장 먼저 줄어들 가능성이 작아진다는 뜻이다. 이처럼 확률을 구해 비교해보면 내가 서지 않은 줄이 빨리 줄어드는 것은 자연스럽고도 당연한 일이라는 것을 바로 알 수 있다.
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